Jindřich Fügner se narodil 10. září 1822 v Praze do vlastenecké rodiny zámožného obchodníka s látkami. Byl pokřtěn v kostele u sv. Štěpána.  Absolvoval tři třídy školy normální, a pak vstoupil na piaristické gymnasium, z něhož na začátku třetí třídy odešel, aby se věnoval dráze, kterou mu určil otec. Když po třech letech získal jako obchodní praktikant výuční list, odejel na zkušenou do Terstu. Později procestoval Itálii.kde pracoval ve velkoobchodu se zámořským zbožím, naučil se italsky, procestoval Německo, Anglii, Francii, Belgii a všude se vedle obchodu zajímal o veřejný život. Fügner náležel ke vzdělaným a politicky probudilým představitelům pražského měšťanstva, byl rozhodným stoupencem demokratických idejí svobody a společenské rovnosti. 

Nadále se ale soukromě vzdělával a vlastním studiem získal všestranné vzdělání, široký rozhled a ovládal několik jazyků. S pomocí domácího učitele si doplňoval vědomosti z matematiky, filozofie a historie. Fügner byl nadšený sportovec, bruslil, šermoval, jezdil na koni. Vlastnil bohatou knihovnu ze všech vědních oborů. Svůj hospodářský a kulturní obzor si rozšířil cestami do Francie, Německa, Belgie, Itálie a Anglie. Po návratu do Prahy v roce 1846 převzal od svého otce velkoobchod textilním zbožím. Díky dědictví po dědovi (zdědil jeho vinice a lodě) byl vcelku zámožný. Při všem blahobytu a zdárném podnikání žil velmi skromně a tiše. 

Rozhodující měrou na něho zapůsobil revoluční rok 1848, kdy se stal členem Národní gardy a kdy začal podvědomě sympatizovat s bojem Čechů za svobodu, jako liberál s demokratickými sklony tehdy prožil veliké zklamání. Vnitřní nesouhlas s bachovským režimem přivedly  Fügnera do českého tábora a k upřímnému českému vlastenectví. Císař nesplnil daný slib na konstituční uspořádání monarchie. Také na vlastní oči viděl pronásledování Čechů, hluboce na něj zapůsobil osud Karla Havlíčka Borovského. 

V roce 1853 se oženil s Kateřinou Tureckou, dcerou hospodářského rady u kněžny Dietrichsteinové a majitele dvora ve Zbuzanech, která svou křehkostí a ženskostí údajně připomínala pastýřku z míšeňského porcelánu. Po sňatku zanechal obchodu a v roce 1855 se stal generálním zástupcem terstské pojišťovací společnosti „Nuova Società Commerciale d´Assecurazioni“ v Praze. Roku 1859 byl zvolen do pražské obchodní a průmyslové komory a v obecních volbách roku 1851 do pražského obecního zastupitelstva. Založil Českou hypoteční banku a stal se jejím ředitelem. Působil rovněž ve výboru pro zbudování Národního divadla. 

Fügner byl vynikající a nadšený sportovec a ve společnosti byl pro svoji klidnou a přátelskou povahu velmi oblíben. Díky nabitým zkušenostem byl otevřený novým myšlenkám a pokroku. Vlastnil plachetnici s americkou vlajkou, se kterou se rád plavil po Vltavě.

Hrál na klavír a varhany a v roce 1859 pomohl založit Pražský spolek stenografů gabelsbergerských, čímž de facto podpořil rozšíření těsnopisu v české společnosti.

Bachův absolutismus, osud Karla Havlíčka Borovského, studium českých dějin a příklady antických hrdinů, to vše vedlo Jindřicha Fügnera ke sblížení s Tyršem. Při šťastném osudovém setkání obou mužů v křivoklátské přírodě v myslivně Na Králi došlo k názorové shodě a posléze k uskutečnění velkolepé sokolské myšlenky.

Od konce padesátých let trávila Fügnerova rodina pravidelně léto v myslivně Na králi u obce Svatá na Křivoklátsku, a právě zde došlo v létě 1860 k historickému setkání s Miroslavem Tyršem. Tyrš v té době pobýval nedaleko v Novém Jáchymově v rodině továrníka Bartelmusa, kde působil jako vychovatel jeho dvou synů. Z tohoto setkání vzešlo hluboké přátelství, vyznačující se vzájemnou úctou a osobní oddaností. Jako stoupenci svobody a rovnosti odmítali sociální nerovnost a národnostní útlak. Byli přesvědčeni, že také v rakouské říši mohou Češi a ostatní utiskované národy dosáhnout důslednými konstitučními a demokratickými reformami politické rovnoprávnosti. Shodovali se plně v tom, že národy budou zdravé a silné tehdy, půjdou-li cestou společenského pokroku.

Při společných setkáních a rozhovorech v myslivně na králi i při občasných Tyršových návštěvách Prahy ve Fügnerově bytě krystalizovala idea tělovýchovy nejen jako významného prostředku k fyzickému a duševnímu zotavení národa, ale i jako prostředku schopného do národně emancipovaného hnutí zmobilizovat široké vrstvy českého lidu.

Fügner je znám především jako starosta první české tělocvičné organizace Sokol, založené v Praze 16. 2. 1862. V Sokole Pražském zastával od začátku post prvního starosty. Svými zkušenostmi a organizačními schopnostmi výborně doplňoval o deset let mladšího blízkého přítele, zetě a zároveň hlavní osobnost sokolského hnutí M. Tyrše. Vedle Tyrše se Fügner největší měrou podílel na rozmachu Sokola v prvním období jeho činnosti. Fügner byl nepostradatelný v roli pořadatele spolkových činností, díky svému jmění mohl ze svých prostředků dotoval rozličné sokolské akce. Fügner dal podnět ke konání prvních šibřinek v únoru 1865, již v nové tělocvičně. Pro propagaci Sokola měl velký význam i slavnostní kroj. Prvním návrhem byl pověřen Josef Mánes, stejně jako návrhem prvního spolkového praporu. Bez jeho hmotné podpory by Sokol nepřekonal svá první léta. V blízkosti Žitné brány zakoupil parcelu se zahradou a pro potřeby sdružení zde nechal vystavět tělocvičnu. Fügner byl vlastenec a také demokrat a spolu s Tyršem vtiskli sokolské organizaci demokratický charakter. Fügner navrhl a zavedl tykání všech členů a oslovování „bratře“; první také přišel v červené blůze, jakou nosil slavný italský revolucionář G. Garibaldi a která se stala součástí sokolského stejnokroje. Byl „muž obětavý do krajnosti“ a využitím svých úvěrových možností i vlastním majetkem zajistil postavení v té době nejmodernější tělocvičny v Evropě.O hospodářskou stránku Sokola se staral svými zkušenostmi i celým svým jměním. Postaral se o nájem tělocvičny U Apolla, poté sálu v Konviktu, a když počet členstva přesáhl tisíc, zabezpečil v roce 1863 pozemek a stavbu vlastní moderní tělocvičny v nynější Sokolské ulici.

Jindřich Fügner zemřel na otravu krve 15. listopadu 1865 v pouhých 42 letech. Jeho ostatky byly tři dny vystaveny v sále jím zbudované tělocvičny a po celou dobu mu davy lidí přicházeli vzdát úctu. Za účasti široké veřejnosti rovněž proběhl i pohřební průvod a vlastní obřady na Olšanských hřbitovech.

Jeho sestra Wilhelmina se provdala za Alexandra Helferta.